TEORIA GRACELI GERAL E UNIFICATÓRIA do INFINITO-DIMENSIONAL.

 

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novembro 06, 2021

 TEORIA GRACELI GERAL E UNIFICATÓRIA  do INFINITO-DIMENSIONAL. 

TEORIA GRACELI GERAL E UNIFICATÓRIA DIMENSIONAL.

outubro 27, 2021

TEORIA GRACELI GERAL E UNIFICATÓRIA DIMENSIONAL.

ONDE CADA INFINITA PARTÍCULA TEM INFINITAS DIMENSÕES FORMANDO UM SISTEMA GERAL UNIFICATÓRIO COM PADRÕES DE VARIAÇÕES CONFORME AS PARTÍCULA QUE NO CASO PASSAM A REPRESENTAR DIMENSÕES, PADRÕES DE ENERGIAS E E PADRÕES POTENCIAIS DE TRANSFORMAÇÕES, INTERAÇÕES CATEGORIAS FÍSICAS DE GRACELI E OUTROS.

NA TEORIA DAS CORDAS PARTÍCULAS SÃO REPRESNTADAS POR VIBRAÇÕES.

JÁ NA TEORIA GRACELI GERAL E UNIFICATÓRIA DIMENSIONAL. NO CASO SÃO REPRENTADOS POR DIMENSÕES FÍSICAS E QUÍMICA DE GRACELI.

TEORIA FÍSICA DE GRACELI GENERALIZADA ENTRE SDCTIE , TENSORES DE GRACELI, NO :

sistema indeterminístico Graceli ; SISTEMA GRACELI INFINITO-DIMENSIONAL

setembro 20, 2021

 sistema indeterminístico Graceli ;

SISTEMA GRACELI INFINITO-DIMENSIONAL = sdctie graceli, sistema de infinitas dimensões +

SISTEMA DE TENSOR G+ GRACELI , ESTADOS FÍSICOS -QUÍMICO-FENOMÊNICO DE GRACELI CATEGORIAS E Configuração eletrônica dos elementos químicos

SISTEMA GRACELI INFINITO-DIMENSIONAL.

 SISTEMA GRACELI INFINITO-DIMENSIONAL.

COM  ELEMENTOS DO SISTEMA SDCTIE GRACELI, TENSOR G+ GRACELI CAMPOS E ENERGIA, E ENERGIA, E CONFIGURAÇÕES ELETRÔNICAS DOS ELEMENTOS QUÍMICO, E OUTRAS ESTRUTURAS.

ESTADO E NÚMERO QUÂNTICO, NÍVEIS DE ENERGIA DO ÁTOMO, FREQUÊNCIA. E OUTROS.

  TENSOR G+ GRACELI, SDCTIE GRACELI, DENSIDADE DE CARGA E DISTRIBUIÇÃO ELETRÔNICA, NÍVEIS DE ENERGIA, NÚMERO E ESTADO QUÂNTICO. + POTENCIAL DE SALTO QUÂNTICO RELATIVO AOS ELEMENTOS QUÍMICO COM O SEU RESPECTIVO  E ESPECÍFICO NÍVEL DE ENERGIA.

SISTEMA MULTIDIMENSIONAL  GRACELI

ONDE A CONFIGURAÇÃO ELETRÔNICA TAMBÉM PASSA A SER DIMENSÕES FÍSICO-QUÍMICA DE GRACELI.

Configuração eletrônica dos elementos químicos. [parte do sistema Graceli infinito-dimensional].

DENTRO DE UMA CONCEPÇÃO QUE CADA ÁTOMO É FORMADO DE INFINITAs OUTRAS PARTÍCULAS, E COM INFINITAS OUTRAS ENERGIAS, INTERAÇÕES, TRANSFORMAÇÕES, E OUTROS FENÔMENOS, LOGO SE TEM EM CADA ÁTOMO E OU ELEMENTO QUÍMICO INFINITAS OUTRAS DIMENSÕES. COM INFINITAS VARIAÇÕES NAS CATEGORIAS DE GRACELI , QUE  SÃO: OS POTENCIAIS, TIPOS, NÍVEIS, E TEMPO DE AÇÃO ESPECÍFICO  DO FENÔMENO.

ONDE NOS SISTEMAS  DE GRACELI CATEGORIAS,  FENÔMENOS, ESTADOS, ENERGIAS, ESTRUTURAS, E OUTROS SÃO TIPOS E FORMAS DE DIMENSÕES..

FLUXOS ALEATÓRIOS DE ENERGIAS ELÉTRICA,  E FLUXOS DE SALTOS QUÂNTICOS INFINITESIMAIS E INDETERMINADOS.

SENDO QUE VARIAM CONFORME O SISTEMA INFINITO-DIMENSIONAL.

O SISTEMA INFINITO-DIMENSIONAL DE GRACELI, ASSIM, COMO O SISTEMA SDCTIE GRACELI [SISTEMA ENVOLVENDO DIMENSÕES DE GRACELI, E SUAS CATEGORIAS, ESTADOS FÍSICOS E ESTADOS FÍSICOS DE GRACELI, TRANSFORMAÇÕES E INTERAÇÕES], E OS TENSORES DE GRACELI TEM AÇÃO EM TODA A FÍSICA EM TODOS OS SEUS RAMOS E E DIVISÕES, ASSIM, COMO A QUÍMICA E A BIOLOGIA, QUE TODOS ESTES SE FUNDAMENTEM EM ENERGIAS, ONDAS, ESTRUTURAS, CATEGORIAS, ESTADOS, ESPECTROS, DIMENSÕES, E OUTROS.

OU SEJA, DENTRO DE UM SISTEMA GERAL DE GRACELI TODA FÍSICA DAS ESTRTURUAS, ENERGIAS, ONDAS, DIMENSÕES, ESTADOS, E CATEGORIAS. ESTÃO INSERIDOS NESTES SISTEMA DE GRACELI.

dentro de uma concepção que a matéria é infinitésima em termos de tipos e ínfimos diâmetro, logo esta diferenciação faz com que cada ínfima e infinitésima parte tenha ações, transformações, interaçõs, potenciaidades, e outros diferentes de uma das outras. logo se tem infinitas dimensões para cada ínfima e infinitésima parte e tipo.

VEJAMOS;

Este diagrama descreve a cinética de agregação de particulas discretas de acordo com a equação de Smoluchowski.

Em física estatística a equação de coagulação de Smoluchowski é uma equação integrodiferencial introduzida por Marian Smoluchowski em sua publicação seminal de 1916^[1] descrevendo a evolução temporal da concentração de particuas coagulando (processo de floculação).

Índice

• 1Equação
• 2Kernel de Coagulação
• 3Ver também
• 4Referências

Equação

No caso do tamanho das particulas ser modelado por uma distribuição contínua, a equação possui integrais:

${\displaystyle {\frac {\partial n(x,t)}{\partial t}}={\frac {1}{2}}\int _{0}^{x}K(x-y,y)n(x-y,t)n(y,t)\,dy-\int _{0}^{\infty }K(x,y)n(x,t)n(y,t)\,dy.}$

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No caso do tamanho das partículas ser modelado por variáveis discretas, i.e. quando as particulas se juntarem formando classes discretas de agregados com tamanhos fixos, então a equação possui somatórias:

${\displaystyle {\frac {\partial n(x_{i},t)}{\partial t}}={\frac {1}{2}}\sum _{j=1}^{i-1}K(x_{i}-x_{j},x_{j})n(x_{i}-x_{j},t)n(x_{j},t)-\sum _{j=1}^{\infty }K(x_{i},x_{j})n(x_{i},t)n(x_{j},t).}$

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No caso discreto, cada somatória pode ser interpretada como uma função de fluxo de massa. Assim,

${\displaystyle {\frac {\partial n(x_{i},t)}{\partial t}}={\frac {1}{2}}J_{e}-J_{s},}$

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onde ${\displaystyle J_{e}}$ é o fluxo de entrada de massa vindo de partículas menores, e ${\displaystyle J_{e}}$ é o fluxo de saída para agregados maiores.

A quantidade n tem a unidade de partículas por volume (concentração volumétrica).

Kernel de Coagulação

O operador linear K é chamado de kernel. Ele descreve a taxa com a qual partículas de tamanho x se aglutinam com outros partículas de tanho y. Soluções analíticas para a equação de Smoluchowski existem quando o kernel tem uma das seguintes formas:

${\displaystyle K=1,\quad K=x+y,\quad K=xy,}$

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conhecidas respectivamente como constante, aditiva and multiplicativa. No entanto, na maioria das aplicações práticas o kernel possui formas significamente mais complexes, por exemplo o kernel que descreve a colisão de moléculas de gás,

${\displaystyle K={\sqrt {\frac {\pi k_{b}T}{2}}}\left({\frac {1}{m(x)}}+{\frac {1}{m(y)}}\right)^{1/2}\left(d(x)+d(y)\right)^{2}.}$

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Geralmente, equaçõs de coagulação que modelando kernels fisicamente realistas não precisam ser resolvidos numericamente. Existem métodos determinísticos que podem ser usados se somente houver uma unica classe de particulas (x) de interesse. No caso de sistemas multivariáveis entretanto, quando duas ou mais propriedadas (como tamanho, forma ou composição do agregado) são incluidas, aproximações especiais que sofrem menos da maldição da dimensionalidade precisam ser aplicadas. Por exemplo, aproximações baseadas em funções gaussianas de base radial podem ser aplicadas para equação de coagulação bidimensionais.^[2] Quando a precisão da solução não é de tão importante métodos estocásticos são bastante atraentes.

Em física (mais especificamente, em teoria cinética) a relação de Einstein (também conhecida como relação de Einstein–Smoluchowski) é uma conexão inesperada revelada anteriormente de forma independente por Albert Einstein em 1905 e por Marian Smoluchowski (1906) em seus estudos sobre movimento Browniano. Dois importantes casos especiais da relação são:

${\displaystyle D={{\mu _{q}\,k_{B}T} \over {q}}}$ (difusão de partículas carregadas)

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${\displaystyle D={\frac {k_{B}T}{6\pi \,\eta \,r}}}$ ("equação de Einstein–Stokes", para a difusão de partículas esféricas

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 através de um líquido com baixo número de Reynolds)

onde

• D é a constante de difusão,
• q é a carga elétrica da partícula,
• μ_q, a mobilidade elétrica da partícula carregada, i.e. a razão da velocidade de deriva terminal da partícula para um campo elétrico aplicado,
• ${\displaystyle k_{B}}$ é a constante de Boltzmann,
• T é a temperatura absoluta,
• η é a viscosidade
• r é o raio da partícula esférica.

A forma mais geral da equação é:

${\displaystyle D=\mu \,k_{B}T}$

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onde a "mobilidade" μ é a razão da velocidade de deriva terminal da partícula a uma força aplicada, μ = v_d / F.

Esta equação é um exemplo inicial do relação de flutuação-dissipação. É frequentemente usada no fenômeno de eletrodifusão.

• 4Referências

Derivações de casos especiais da forma geral

Equação da mobilidade elétrica

Para uma partícula com carga q, sua mobilidade elétrica μ_q é relacionada a sua mobilidade generalizada μ pela equação μ=μ_q/q. Entretanto, a forma geral da equação

${\displaystyle D=\mu \,k_{B}T}$

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é no caso de uma partícula carregada:

${\displaystyle D={\frac {\mu _{q}\,k_{B}T}{q}}}$

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Equação de Einstein–Stokes

No limite de baixos números de Reynolds, a mobilidade ${\displaystyle \mu }$ é o inverso do coeficiente de arrasto ${\displaystyle \zeta }$. Uma constante de amortecimento, ${\displaystyle \gamma }$, é frequentemente usada no contexto de ${\displaystyle \gamma ^{-1}}$, o que implica que o tempo de relaxamento de momento (o tempo necessário para o momento de inércia tornar-se negligenciável comparado ao momento aleatório) do objeto difusivo.

Para partículas esféricas de raio ${\displaystyle r}$, a lei de Stokes fornece

${\displaystyle \zeta =m\gamma =6\pi \,\eta \,r,}$

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onde ${\displaystyle \eta }$ é a viscosidade do medio. Então a relação de Einstein torna-se

${\displaystyle D={\frac {k_{B}T}{6\pi \,\eta \,r}}}$

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Semicondutor

Em um semicondutor com uma densidade dos estados arbitrária a relação de Einstein é^[1]

${\displaystyle D={{\mu _{q}\,p} \over {q{{d\,p} \over {d\eta }}}}}$

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onde ${\displaystyle \eta }$ é o potencial químico e p o número de partículas.

Prova do caso geral

(Esta é a demonstração em uma dimensão, mas é idêntica a uma demonstração em duas ou três dimensões: Apenas substitui-se d/dx com ${\displaystyle \nabla }$. Essencialmente a mesma deonstração é encontrada em muitos lugares, por exemplo ver Kubo.^[2])

Supondo-se alguma energia potencial U cria uma força sobre uma partícula ${\displaystyle F=-dU/dx}$ (por exemplo, uma força elétrica). Assumindo-se que a partícula irá responder, outras coisas iguais, por mover-se com velocidade ${\displaystyle v=\mu F}$. Agora assume-se que existe um grande número de tais partículas, com concentração ${\displaystyle f(x)}$ como uma função da posição. Após algum tempo, o equilíbrio irá ser estabelecido: As partículas irão "acumular-se" em torno das áreas com mais baixa U, mas ainda serão espalhadas em certa medida por causa da difusão aleatória. Neste ponto, não há um fluxo em balanço, resultante, de partículas: A tendência das partículas para serem empurradas para mais baixa U (chamada "corrente de deriva") é igual e oposta à tendência das partículas de se espalhar devido à difusão (chamada "corrente de difusão").

O fluxo resultante de partículas devido à corrente de deriva isolado é

${\displaystyle J_{\mathrm {deriva} }(x)=\mu \,F(x)\,f(x)=-f(x)\mu {\frac {dU}{dx}}}$

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(i.e. o número de partículas fluindo após um ponto é a concentração de partículas vezes a velocidade média.)

O fluxo líquido (resultante) de partículas devido à corrente de difusão isolada é, pela lei de Fick

${\displaystyle J_{\mathrm {difus.} }(x)=-D{\frac {df}{dx}}}$

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(o sinal negativo significa que as partículas fluem da maior concentração para a mais baixa).

O equilíbrio requer:

${\displaystyle 0=J_{\mathrm {deriva} }+J_{\mathrm {difus.} }=-f(x)\mu {\frac {dU}{dx}}-D{\frac {df}{dx}}}$

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No equilíbrio, pode-se aplicar termodinâmica, em particular a estatística de Boltzmann, para inferir que

${\displaystyle f(x)=Ae^{-U/(k_{B}T)}}$

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onde A é alguma constante relacionada com o número total de partículas. Portanto, com a regra da cadeia,

${\displaystyle {\frac {df}{dx}}={\frac {-dU/dx}{k_{B}T}}f(x).}$

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Finalmente, ligando isso em:

${\displaystyle 0=J_{\mathrm {deriva} }+J_{\mathrm {difus.} }=-f(x)\mu {\frac {dU}{dx}}-D{\frac {df}{dx}}=-f(x){\frac {dU}{dx}}\left(\mu -{\frac {D}{k_{B}T}}\right)}$

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Como esta equação deve se sustentar em todos os locais,

${\displaystyle \mu ={\frac {D}{k_{B}T}}.}$

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Em física estatística, uma equação de Langevin é uma equação diferencial estocástica que descreve o movimento de uma variável aleatória (e.g., a posição de uma partícula suspensa num liquido) quando sujeita a um potencial; geralmente, é este potencial que impõe a natureza aleatória ao sistema. Este potencial, normalmente, pode ser decomposto em duas componentes: um potencial estático (e.g., campo elétrico) e um potencial aleatório. Um exemplo típico do uso destas equações é o movimento browniano onde a variável aleatória é a posição de uma partícula embutida num banho térmico e o potencial é o efeito da temperatura do banho, ou seja, o efeito das colisões entre a partícula e as moléculas do banho térmico.

• 4Referências

Exemplos de equações de Langevin

Movimento browniano

A equação de Langevin original, desenvolvida por Paul Langevin,^[1] foi utilizada para descrever o movimento browniano. Neste processo, o movimento de uma partícula browniana de massa ${\displaystyle m}$ e posição ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}(t)}$ é apenas uma consequência das colisões entre a partícula e as moléculas do meio envolvente. Estas colisões levam a dois efeitos. O primeiro, macroscópico, é conhecido como atrito viscoso e pode ser expresso como uma força ${\displaystyle -\gamma {\boldsymbol {v}}(t)}$ onde ${\displaystyle \gamma }$ é o coeficiente de amortecimento (próprio do meio envolvente) e ${\displaystyle {\boldsymbol {v}}(t)={\dot {\boldsymbol {x}}}(t)}$ é a velocidade da partícula. O segundo efeito, estocástico, é uma força (ou ruído) ${\displaystyle {\boldsymbol {\eta }}(t)}$ que se assume ser Gaussiana de media nula ${\displaystyle \left\langle {\boldsymbol {\eta }}(t)\right\rangle ={\boldsymbol {0}}}$ , graças à lei dos grandes números, e função de correlação ${\displaystyle \left\langle \eta _{i}(t)\eta _{j}(t')\right\rangle =2d\gamma mk_{B}T\delta _{ij}\delta (\left\vert t-t'\right\vert )}$

Aplicando a segunda lei de Newton obtemos:

${\displaystyle m{\boldsymbol {a}}(t)=-\gamma \mathbf {v} (t)+{\boldsymbol {\eta }}(t),}$///////

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onde ${\displaystyle {\boldsymbol {a}}(t)={\ddot {\boldsymbol {x}}}(t)}$ é a aceleração da partícula.

Esta equação de Langevin pode ser integrada (por via de uma transformada de Laplace por exemplo):

${\displaystyle m{\boldsymbol {v}}(t)=m{\boldsymbol {v}}_{0}e^{-\gamma t}+\int _{0}^{t}d\tau \ e^{-\gamma \tau }{\boldsymbol {\eta }}(t-\tau )}$,

Daqui podemos tirar varias conclusões, como por exemplo:

• ${\displaystyle \left\langle {\boldsymbol {v}}(t)\right\rangle ={\boldsymbol {v}}_{0}e^{-\gamma t}+{\frac {1}{m}}\int _{0}^{t}d\tau \ e^{-\gamma (t-\tau )}\left\langle {\boldsymbol {\eta }}(\tau )\right\rangle ={\boldsymbol {v}}_{0}e^{-\gamma t}}$;

• ${\displaystyle \left\langle {\boldsymbol {v}}^{2}(t)\right\rangle ={\boldsymbol {v}}_{0}^{2}e^{-2\gamma t}+{\frac {1}{m^{2}}}\int _{0}^{t}d\tau \int _{0}^{t}d\tau '\ e^{-2\gamma \tau }\left\langle {\boldsymbol {\eta }}(t-\tau ){\boldsymbol {\eta }}(t-\tau ')\right\rangle =\left({\boldsymbol {v}}_{0}^{2}-{\frac {dk_{\text{B}}T}{m}}\right)e^{-2\gamma t}+{\frac {dk_{\text{B}}T}{m}}}$;

note-se que quando o sistema se encontra em equilíbrio ${\displaystyle (t\rightarrow \infty )}$ a velocidade média da partícula é nula e

${\displaystyle \left\langle {\frac {1}{2}}m{\boldsymbol {v}}^{2}(t)\right\rangle ={\frac {d}{2}}k_{\text{B}}T,}$

este é o famoso resultado do teorema da equipartição (de energia) para a energia média de partículas num gás perfeito.

Circuito elétrico com ruido térmico

Outros sistemas podem ser tratados da mesma maneira tais como o ruido térmico numa resistência elétrica:

${\displaystyle L{\frac {dI(t)}{dt}}=-RI(t)+v(t).}$

Considerações adicionais

Existe uma conexão direta entre uma equação de Langevin e a equação de Fokker-Planck correspondente, geralmente facilitando a resolução do sistema. Porém, é preciso notar que nem todas as equações de Langevin têm uma equação de Fokker-Planck correspondente (por exemplo, se o ruído não for gaussiano).

Soluções numéricas alternativas podem ser obtidas mediante simulação de Monte Carlo. Outras técnicas têm também sido utilizadas, que se baseiam na analogia entre física estatística e mecânica quântica (por exemplo, a equação de Fokker-Planck pode ser transformada na equação de Schrödinger com uma transformação de variáveis).///////

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 para todas as direções ${\displaystyle i,j}$ do espaço de ${\displaystyle d}$ dimensões onde ${\displaystyle k_{\text{B}}}$ é a constante de Boltzmann e ${\displaystyle T}$ é a temperatura do meio envolvente.

Desenvolvida originalmente por Ludwig Boltzmann, esta equação é uma ferramenta poderosa para a análise dos fenômenos de transporte envolvendo gradientes de temperatura e densidade. Essa equação é muito importante na física estatística e amplamente aplicada no estudo de sistemas fora do equilíbrio termodinâmico. Geralmente, a equação de transporte de Boltzmann é utilizada no estudo do transporte de calor e carga, fornecendo informações sobre propriedades de transporte como condutividade elétrica e térmica, viscosidade, etc. Para um sistema com função distribuição de partículas ${\displaystyle f({\vec {x}},{\vec {p}},t)\mathrm {d} {\vec {x}}\mathrm {d} {\vec {p}}}$ sujeita a uma força externa ${\displaystyle {\vec {F}},}$ a equação de Boltzmann é dada por

$${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {\vec {p}}{m}}{\frac {\partial f}{\partial {\vec {x}}}}+{\vec {F}}{\frac {\partial f}{\partial {\vec {p}}}}={\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} t}}{\Bigg |}_{col}}$$

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onde o termo da direita descreve o efeito das colisões entre as partículas do sistema.

Dedução matemática

Considere uma função de distribuição ${\displaystyle f({\vec {x}},{\vec {p}},t),}$ de maneira que

$${\displaystyle f({\vec {x}},{\vec {p}},t)\mathrm {d} {\vec {x}}\mathrm {d} {\vec {p}}}$$

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represente o número de partículas que, no instante ${\displaystyle t,}$ se encontra na posição ${\displaystyle {\vec {x}}}$ em um elemento de volume ${\displaystyle \mathrm {d} {\vec {x}}}$ com momento ${\displaystyle \mathrm {d} {\vec {p}}}$ em torno de ${\displaystyle {\vec {p}}.}$ Na ausência de colisões entre as partículas desse sistema, temos

$${\displaystyle f({\vec {x}}+{\vec {v}}\delta t,{\vec {p}}+{\vec {F}}\delta t,t+\delta t)\mathrm {d} {\vec {x}}\mathrm {d} {\vec {p}}=f({\vec {x}},{\vec {p}},t)\mathrm {d} {\vec {x}}\mathrm {d} {\vec {p}}}$$

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onde ${\displaystyle {\vec {F}},}$ é um campo de força externo atuando nas partículas. Entretanto, se considerarmos as colisões entre partículas a densidade ${\displaystyle f}$ muda, e obtemos

$${\displaystyle f({\vec {x}}+{\frac {\vec {p}}{m}}\delta t,{\vec {p}}+{\vec {F}}\delta t,t+\delta t)\mathrm {d} {\vec {x}}\mathrm {d} {\vec {p}}-f({\vec {x}},{\vec {p}},t)\mathrm {d} {\vec {x}}\mathrm {d} {\vec {p}}={\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} t}}{\Bigg |}_{col}\mathrm {d} {\vec {x}}\mathrm {d} {\vec {p}}\mathrm {d} t.}$$

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Onde agora, o termo da direita descreve as colisões entre partículas. Expandindo o lado esquerdo em primeira ordem em ${\displaystyle \delta t,}$ chegamos a seguinte expressão para a equação de Boltzmann

$${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {\vec {p}}{m}}{\frac {\partial f}{\partial {\vec {x}}}}+{\vec {F}}{\frac {\partial f}{\partial {\vec {p}}}}={\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} t}}{\Bigg |}_{col}.}$$

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Desde de sua descoberta, a equação de transporte de Boltzmann é utilizada no estudo de vários sistemas físicos, entretanto, soluções para essa equação só foram encontradas em 2010. Philip T. Gressman e Robert M. Strain encontraram uma solução global clássica para a equação de Boltzmann com interações de longo alcance.^[1]

A equação de Boltzmann pode ser utilizada para calcular as propriedades de transporte eletrônico em metais e semicondutores. Por exemplo, se um campo elétrico é aplicado a um sólido, devemos resolver a equação de Boltzmann para a função de distribuição dos elétrons. Se o campo elétrico é constante, a função de distribuição também é constante e está associada a um fluxo de corrente na direção do campo. A partir da equação de Boltzmann também é possível calcular o fluxo de calor em um sólido que surge devido a uma diferença de temperatura, e a condutividade térmica. As equações resultantes descrevem os fenômenos termoelétricos, tais como o efeito Seebeck e o efeito Peltier. Finalmente, se temos um campo magnético constante, podemos ver que a condutividade elétrica geralmente diminui com o aumento do campo magnético, um comportamento conhecido como magnetorresistência. A equação do transporte de Boltzmann também pode ser utilizada para descrever o efeito Hall, e fenômenos mais complexos como termomagnético, o efeito Ettingshausen e o efeito Nernst.

Propriedades de não equilíbrio de gases atômicos ou moleculares, como viscosidade, condução térmica e difusão têm sido tratados com a equação de Boltzmann. Embora muitos resultados úteis, como a independência da viscosidade na pressão, podem ser obtidos por métodos aproximados.

Outra aplicação da equação de Boltzmann é no estudo de plasmas. Muitas das propriedades dos plasmas podem ser calculadas estudando o movimento das partículas individuais em campos elétricos e magnéticos, ou considerando equações hidrodinâmicas ou a equação Vlasov, juntamente com as equações de Maxwell. No entanto, propriedades sutis de plasmas, como processos de difusão e de amortecimento de ondas, podem ser melhor compreendidas, partindo da equação de Boltzmann.

Em teoria cinética molecular em física, a função distribuição de uma partícula é a função de sete variáveis, ${\displaystyle f(x,y,z,t;v_{x},v_{y},v_{z})}$, a qual dá o número de partículas por unidade de volume num espaço de fase. É o número de partículas tendo aproximadamente a velocidade ${\displaystyle (v_{x},v_{y},v_{z})}$ próxima ao local ${\displaystyle (x,y,z)}$ e o tempo ${\displaystyle (t)}$. A normalização usual desta função é

${\displaystyle n(x,y,z,t)=\int f\,dv_{x}\,dv_{y}\,dv_{z}}$

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${\displaystyle N(t)=\int n\,dx\,dy\,dz}$

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Aqui, N é o número total de partículas e n é o número densidade de partículas - o número de partículas por unidade de volume, ou a densidade dividida pela massa de partículas individuais.

As funções distribuição de partículas são frequentemente usadas em física de plasma para descrever interações onda-partícula e instabilidades velocidade-espaço. Funções distribuição são também usadas em mecânica dos fluidos e mecânica estatística.

A função distribuição básica usa a constante de Boltzmann ${\displaystyle k}$ e temperatura ${\displaystyle T}$ com o número densidade para modificas a distribuição normal:

${\displaystyle f={\frac {n}{\sqrt {(2\pi RT)^{3}}}}\exp \left({-{\frac {m(v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2})}{2kT}}}\right)}$

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TEORIA GRACELI GERAL E UNIFICATÓRIA  do INFINITO-DIMENSIONAL. 

TEORIA GRACELI GERAL E UNIFICATÓRIA DIMENSIONAL.

Funções distribuição relacionadas devem permitir um fluxo fluido maior, nos casos em que a velocidade original é fixada, então que o numerador do expoente é ${\displaystyle m((v_{x}-u_{x})^{2}+(v_{y}-u_{y})^{2}+(v_{z}-u_{z})^{2})}$; ${\displaystyle (u_{x},u_{y},u_{z})}$ é a

Teorias sobre plasma tais como a magnetoidrodinâmica podem considerar as partículas como estando em equilíbrio termodinâmico. Neste caso, a função distribuição é Maxwelliana. Esta função distribuição trata o fluxo fluido e diferentes temperaturas em direções paralelas a, e perpendiculares a, o campo magnético local. Funções fistribuição mais complexas podem também ser usadas dado que plasmas raramente estão em equilíbrio térmico.

O análogo matemático da distribuição é uma medida; a evolução no tempo de uma medida num estado de fase é o tópico estudado em sistemas dinâmicos.///////

TEORIA GRACELI GERAL E UNIFICATÓRIA  do INFINITO-DIMENSIONAL. 

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 maior velocidade do fluido. Funções distribuição podem também representar temperaturas não isotrópicas, nas quais cada termo no expoente é dividido por uma diferente temperatura.