TOPOGEOMETRIA GRACELI DE SISTEMAS.

 

TOPOGEOMETRIA GRACELI DE SISTEMAS.

novembro 03, 2021

 TOPOGEOMETRIA GRACELIDE SISTEMAS:

SISSTEMAS HARMÔNICOS E SIMÉTRICOS.

NÃO-HARMÔNICOS E NÃO-SIMÉTRICOS [VARIÉVEIS EM RELAÇÃO AO TEMPO [DIFERENCIAL INFINTESIMAL]

DE FLUXOS ALEATÓRIOS, DE SISTEMAS ALEATÓRIOS [VARIÉVEIS EM RELAÇÃO AO TEMPO [DIFERENCIAL INFINTESIMAL]

DE SISTEMAS DINÃMICOS [VARIÉVEIS EM RELAÇÃO AO TEMPO [DIFERENCIAL INFINTESIMAL]

DE SISTEMAS COMPLEXOS [VARIÉVEIS EM RELAÇÃO AO TEMPO [DIFERENCIAL INFINTESIMAL].

DE SISTEMAS ESTOCÁSTICOS. [VARIÉVEIS EM RELAÇÃO AO TEMPO [DIFERENCIAL INFINTESIMAL]

 DE SISTEMAS CONFORMAIS  [VARIÉVEIS EM RELAÇÃO AO TEMPO [DIFERENCIAL INFINTESIMAL]

ESTES SISTEMA DENTRO DA MATEMÁTICA E DA FÍSICA PASSAM A RETRATAR UMA  GEOMETRIA TOPOGEOMÉTRICA GRACELI CONFORME ALGUNS CONCEITOS JÁ PRÉ-ESTABELICIDADES.

VEJAMOS ALGUNS GIFS:

Representações visuais dos primeiros harmônicos esféricos. Partes em azul e amarelo representam, respectivamente, as regiões nas quais a função é positiva e negativa.

Em matemática e ciência física, harmónicos esféricos são funções harmónicas que representam a variação espacial de um conjunto ortogonal de soluções da equação de Laplace, quando a solução é expressa em coordenadas esféricas.

Os harmónicos esféricos são importantes em muitas aplicações teóricas e práticas, particularmente em física atómica (uma vez que a função de onda do electrão contém harmónicos esféricos) e na teoria do potencial, tanto no campo gravitacional como na eletrostática.

Índice

• 1Introdução
• 2Normalização
  • 2.1Convenção de fase de Condon-Shortley
• 3Expansão em harmónicos esféricos
• 4Harmónicos esféricos em física
  • 4.1Harmónicos esféricos na eletrostática
  • 4.2O átomo de hidrogênio
• 5Análise espectral
• 6Teorema da adição
• 7Visualizando os harmónicos esféricos
• 8Expressões analíticas para os primeiros harmónicos esféricos
• 9Teoria matemática geral
• 10Ver também
• 11Referências
• 12Ligações externas
• 13Software

Introdução

Harmónicos esféricos de variável real Y_lm, para l =0,...,4 (de cima para baixo) e m = 0,...,4 (da esquerda para a direita). Os harmónicos Y_l-m com m negativo são idênticos, mas com uma rotação de 90º/m em torno do eixo z em relação aos harmónicos positivos.

A equação de Laplace em coordenadas esféricas é dada por:

${\displaystyle \nabla ^{2}f={1 \over r^{2}}{\partial \over \partial r}\left(r^{2}{\partial f \over \partial r}\right)+{1 \over r^{2}\sin \theta }{\partial \over \partial \theta }\left(\sin \theta {\partial f \over \partial \theta }\right)+{1 \over r^{2}\sin ^{2}\theta }{\partial ^{2}f \over \partial \varphi ^{2}}=0}$

(Ver também Nabla e laplaciano em coordenadas esféricas). Se nesta expressão considera-se soluções específicas da forma ${\displaystyle f(r,\theta ,\phi )=R(r)Y(\theta ,\varphi )}$, a parte angular Y é chamada harmónico esférico e satisfaz a relação

${\displaystyle {1 \over \sin \theta }{d \over d\theta }\left(\sin \theta {dY(\theta ,\varphi ) \over d\theta }\right)+{1 \over \sin ^{2}\theta }{d^{2}Y(\theta ,\varphi ) \over d\varphi ^{2}}+l(l+1)Y(\theta ,\varphi )=0}$

Se, por sua vez, utiliza-se o método de separação de variáveis para esta equação, pode-se ver que a equação acima admite soluções periódicas nas duas coordenadas angulares (l é um inteiro). Logo, a solução periódica do sistema anterior depende de dois inteiros (l, m) e é dada em termos de funções trigonométricas e dos polinômios associados de Legendre:

${\displaystyle Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )=N\,e^{im\varphi }\,P_{\ell }^{m}(\cos {\theta })}$

Onde: ${\displaystyle Y_{\ell }^{m}}$ é chamada de função harmónica esférica de grau ${\displaystyle \ell }$ e ordem ${\displaystyle m}$; ${\displaystyle P_{\ell }^{m}}$ é o polinómio associado de Legendre; ${\displaystyle N}$ é uma constante de normalização; e ${\displaystyle \theta }$ e ${\displaystyle \varphi }$ representam os parâmetros angulares (respectivamente, o ângulo azimutal ou colatitude e o ângulo polar ou longitude).

As coordenadas esféricas utilizadas neste artigo são consistentes com àquelas usadas pelos físicos, mas diferem das utilizadas pelos matemáticos (ver coordenadas esféricas). Em particular, a colatitude ${\displaystyle \theta }$, ou ângulo polar, assume valores de ${\displaystyle 0\leq \theta \leq \pi }$ e a longitude ${\displaystyle \varphi }$, ou azimute, está na faixa de ${\displaystyle 0\leq \varphi <2\pi }$. Portanto, ${\displaystyle \theta }$ é nulo no Pólo Norte, ${\displaystyle \pi /2}$ no Equador e ${\displaystyle \pi }$ no Pólo Sul.

Quando a equação de Laplace é resolvida em coordenadas esféricas, as condições de periodicidade na fronteira da coordenada ${\displaystyle \varphi }$ e as condições de regularidades nos "Pólos Norte e sul" da esfera condizem com o que foi dito que os números l e m necessários devem ser inteiros que satisfazem ${\displaystyle \ell \geq 0}$ e ${\displaystyle |m|\leq \ell }$.

Na física matemática e na matemática, sistema dinâmico é um conceito no qual uma função descreve a relação no tempo de um ponto em um espaço geométrico. Os exemplos incluem modelos matemáticos que descrevem o balanço do pêndulo do relógio, o fluxo de água em um duto, a relação entrada-saída de tensão em um circuito elétrico, a velocidade angular de saída de um motor, etc.

O conceito de sistema dinâmico nasce da exigência de construir um modelo geral para os sistemas físicos que evoluem no tempo, segundo uma regra que liga o estado presente aos estados passados.^[1]

Índice

• 1História
• 2Definição
  • 2.1Subáreas
• 3Terminologia e notação
• 4Exemplos de comportamentos dinâmicos
• 5Referências
• 6Ligações externas
• 7Ver também

História

Os primórdios da teoria dos sistemas dinâmicos podem ser identificados já no século XVI, nos trabalhos de mecânica celeste escritos por Johannes Kepler. As contribuições de Isaac Newton à modelagem matemática através da formalização da mecânica clássica abriram espaço para uma sofisticação crescente do aparato matemático que modela fenômenos mecânicos, culminando nos trabalhos de Lagrange e Hamilton, que definiram a teoria da mecânica clássica num contexto matemático, que essencialmente é o mesmo estudado até hoje.

O matemático francês Henri Poincaré é considerado um dos criadores da teoria moderna dos sistemas dinâmicos, tendo introduzido muitos dos aspectos do estudo qualitativo das equações diferenciais que permitiram estudar propriedades assintóticas das soluções (ou da maior parte das soluções) de uma equação diferencial, como estabilidade e periodicidade, sem ser necessário resolver explicitamente a equação diferencial. Tal abordagem pode ser encontrada na sua obra-prima Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste, publicada em três volumes entre 1892 e 1899.

Considera-se que o primeiro livro publicado na área de sistemas dinâmicos é a obra Dynamical Systems, escrita pelo matemático estado-unidense George Birkhoff, e publicada em 1927.

Entre as ferramentas mais utilizadas na teoria dos sistemas dinâmicos estão a geometria diferencial, a teoria da medida e a geometria simplética.^[2]

Definição

Sejam ${\displaystyle X}$ um espaço topológico e ${\displaystyle (G,\,\cdot \,)}$ um semigrupo topológico.

Dizemos que um sistema dinâmico é um par ${\displaystyle (X,A)}$ onde ${\displaystyle A:X\times G\longrightarrow X}$ é uma aplicação contínua que satisfaz:

• ${\displaystyle A\left(A(x,g),h\right)=A(x,gh)}$ se ${\displaystyle x\in X}$ e ${\displaystyle g,h\in G,}$ e
• ${\displaystyle A\left(x,e\right)=x}$ onde ${\displaystyle x\in X}$ e ${\displaystyle e}$ é o elemento neutro do grupo.

Flutuações nos mercados de ações podem ser modeladas por processos estocásticos.

Dentro da teoria das probabilidades, um processo estocástico é uma família de variáveis aleatórias representando a evolução de um sistema de valores com o tempo. É a contraparte probabilística de um processo determinístico. Ao invés de um processo que possui um único modo de evoluir, como nas soluções de equações diferenciais ordinárias, por exemplo, em um processo estocástico há uma indeterminação: mesmo que se conheça a condição inicial, existem várias, por vezes infinitas, direções nas quais o processo pode evoluir.

Em casos de tempo discreto, em oposição ao tempo contínuo, o processo estocástico é uma sequência de variáveis aleatórias, como por exemplo uma cadeia de Markov. As variáveis correspondentes aos diversos tempos podem ser completamente diferentes, o único requisito é que esses valores diferentes estejam todos no mesmo espaço, isto é, no contradomínio da função. Uma abordagem possível é modelar as variáveis aleatórias como funções aleatórias de um ou vários argumentos determinísticos, na maioria dos casos, em relação ao parâmetro do tempo. Apesar de os valores aleatórios de um processo estocástico em momentos diferentes parecerem variáveis aleatórias independentes, nas situações mais comuns, eles exibem uma complexa dependência estatística.

Exemplo de processos estocásticos incluem flutuações nos mercados de ações e nas taxas de câmbio, dados médicos como temperatura, pressão sanguínea e variações nos potenciais elétricos do cérebro registrados em um eletroencefalograma, fluxo turbulento de um líquido ou gás, variações no campo magnético da Terra, mudanças aleatórias no nível de sinais de rádio sintonizados na presença de distúrbios meteorológicos, flutuação da corrente em um circuito elétrico na presença de ruído térmico, movimentos aleatórios como o movimento Browniano ou passeios aleatórios, entre outros.

Uma generalização de um processo estocástico, o campo aleatório é definido ao permitir que as variáveis sejam parametrizadas por membros de um espaço topológico ao invés do tempo. Exemplos de campos aleatórios incluem imagens de estática, topografia, ondas de superfície e variações na composição de um material heterogêneo.

Mais genericamente, seguindo Kac^[1] e Nelson,^[2] qualquer tipo de evolução temporal, determinística ou essencialmente probabilística, que seja analisável em termos de probabilidade pode ser chamada de processo estocástico.

• 8Ligações externas

Definição formal e propriedades básicas

Definição

Dado um espaço de probabilidade ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$ e um espaço mensurável ${\displaystyle (S,\Sigma )}$, um processo estocástico de valor S é um conjunto de variáveis aleatórias de valor S em ${\displaystyle \Omega }$, indexadas por um conjunto totalmente ordenado T ("tempo"). Isto é, um processo estocástico X é um conjunto

${\displaystyle \{X_{t}:t\in T\}}$

onde cada ${\displaystyle X_{t}}$ é uma variável de aleatória de valor S em ${\displaystyle \Omega }$. O espaço S é então chamado de espaço de estados do processo.

Distribuições de dimensões finitas

Seja X um processo estocástico de valor S. Para cada sequência finita de ${\displaystyle T'=(t_{1},\ldots ,t_{k})\in T^{k}}$, o k-ésimo ${\displaystyle X_{T'}=(X_{t_{1}},X_{t_{2}},\ldots ,X_{t_{k}})}$ é uma variável aleatória tendo valores em ${\displaystyle S^{k}}$. A distribuição ${\displaystyle \mathbb {P} _{T'}(\cdot )=\mathbb {P} (X_{T'}^{-1}(\cdot ))}$ dessa variável aleatória é uma probabilidade medida em ${\displaystyle S^{k}}$. Isso é chamado uma distribuição finita de X. Sob restrições topológicas adequadas, uma coleção “consistente” de distribuições de dimensões finitas pode ser usada para definir um processo estocástico.